法向量的坐标系变换
在本文中
1. 矩阵是行优先存储
2. 向量是列向量
3. 向量 = 矩阵 * 向量。其中，乘法是行列式的乘法规则
知识回顾¶
回顾一个知识
- 三维向量\(\vec{n} = (x,y,z)\)的齐次坐标为\((x,y,z,0)\)，其中第四维为0
- 三维点\(p=(x,y,z)\)的齐次坐标为\((x,y,z,1)\)，其中第四维为1
引言¶
法向量的坐标系变换，与顶点位置的坐标系变换，有所不同。
举个例子，法向量(1,0,0)、顶点坐标(0,0,0)，做一个(0,2,0)的平移变换
按照我们的直观感受
- \((0,0,0) + (0,2,0)\)，因此顶点坐标就变成(0,2,0)
- 而法向量，\((1,0,0)+(0,2,0)\)，变成(1,2,0)。这当然是错的，平移之后，法向量应该还是为(1,0,0)，因为向量没有位置，只有方向
那为什么会错呢？本质上，上文是将向量当成了点（即第四维是1），再去乘上平移矩阵的：
\[
n_{new} = M * n_{old} =
\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 1 && 0 && 2 \\
0 && 0 && 1 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\]
实际上，向量的齐次坐标，的第四维其实是0，即
\[
n_{new} = M * n_{old} =
\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 1 && 0 && 2 \\
0 && 0 && 1 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]
此时就能得到正确的答案。但是，法向量的坐标系变换 没有这么简单 ，这里只讨论了Translation Only，还有其他情况。那么，应该如何对法向量做坐标系变换呢？
方法一：通用公式¶
公式¶
直接给出一个通用公式，它能够计算所有情况下的坐标系变换。
记
- 旧坐标系下的顶点坐标为\(v_{old}\)
- 新坐标系下的顶点坐标为\(v_{new}\)
- 旧坐标系下的法向量为\(n_{old}\)
- 新坐标系下的法向量为\(n_{new}\)
已知，坐标系变换矩阵为\(M\)，那么有\(M * v_{old} = v_{new}\)
那么，法向量的坐标系变换，如下
\[
\begin{pmatrix}
nx_{new} \\
ny_{new} \\
nz_{new} \\
nw_{new}
\end{pmatrix}
=
(M^{-1})^{T}
*
\begin{pmatrix}
nx_{old} \\
ny_{old} \\
nz_{old} \\
nw_{old}
\end{pmatrix}
\]
推导过程¶
1. 向量乘法转为矩阵乘法¶
记平面上的一点\(\vec{v} = (x,y,z,w)\)、平面法向量\(\vec{n}=(n_x, n_y, n_z, n_w)\)。因此有向量乘法：
\[
\vec{n} * \vec{v} = 0
\]
\[
(n_x, n_y, n_z, n_w) * (x, y, z, w) = 0
\]
\[
n_x*x + n_y*y + n_z*z + n_w*w = 0
\]
平面上有很多个顶点，即可归纳出矩阵相乘的形式
\[
\begin{pmatrix}
n_x && n_y && n_z && n_w
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z \\ w
\end{pmatrix}
=
0
\]
即（因为，在本文中向量被视为列向量）
\[
n^{T} * v = 0
\]
2. 在等式上乘上矩阵¶
记坐标系变换的矩阵为\(M\)
- 那么对顶点做变换的话，就要乘上\(M\)
- 为了等式依旧成立（事实上，坐标系变换后等式依旧成立），法向量就要乘上\(M^{-1}\)。因为\(M^{-1} *M\)是单位矩阵
\[
n_{old}^T * M^{-1} * M * v_{old} = 0
\]
又因为
\[
M * v_{old} = v_{new}
\]
因此，上面的式子可简化为。将此式子记为【式子1】
\[
n^T_{old} * M^{-1} * v_{new} = 0
\]
3. 联立，解算出矩阵¶
根据《1 向量乘法转为矩阵乘法》一节的结论，有
\[
n^{T} * v = 0
\]
那么当完成坐标系变换后，我们也有
\[
n_{new}^T * v_{new} = 0
\]
与【式子1】联立，即可获得
\[
n^T_{old} * M^{-1} = n_{new}^T
\]
通过前乘法转换为后乘法，得到
\[
(M^{-1})^T * n_{old} = n_{new}
\]
案例¶
仅平移¶
- 法向量\(\vec{n_{old}} = (0,0,1)\)
- 变换矩阵：只有平移部分，x轴平移2，y轴平移3，z轴平移4
\[
M = \begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 2 \\
0 && 1 && 0 && 3 \\
0 && 0 && 1 && 4 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
计算
\[
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && -2 \\
0 && 1 && 0 && -3 \\
0 && 0 && 1 && -4 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
\[
(M^{-1})^T = \begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 1 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 1 && 0 \\
-2 && -3 && -4 && 1
\end{pmatrix}
\]
根据公式
\[
n_{new} = (M^{-1})^T * n_{old} =
\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 1 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 1 && 0 \\
-2 && -3 && -4 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
-4
\end{pmatrix}
\]
请注意，虽然\(nw_{new}=-4\)，但它不会影响法向量的方向和长度。因此，平移后，法向量仍然为\((0,0,1)\)
仅旋转¶
- 法向量\(\vec{n_{old}} = (0,0,1)\)
- 变换矩阵：只有旋转的部分，沿X轴旋转30°
\[
M = \begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.866 && -0.5 && 0 \\
0 && 0.5 && 0.866 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
计算
\[
M^{-1} = \begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.866 && 0.5 && 0 \\
0 && -0.5 && 0.866 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
\[
(M^{-1})^T = \begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.866 && -0.5 && 0 \\
0 && 0.5 && 0.866 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
根据公式
\[
n_{new} = (M^{-1})^T * n_{old} =
\begin{pmatrix}
1 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.866 && -0.5 && 0 \\
0 && 0.5 && 0.866 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
-0.5 \\
0.866 \\
0
\end{pmatrix}
\]
不难发现，变换矩阵只有旋转时，\(M = (M^{-1})^T\)。因此，只有旋转时，可以直接乘以原先的变换矩阵
仅缩放¶
- 法向量\(\vec{n_{old}} = (0,0.6,0.8)\)
- 变换矩阵：缩放因子\((2,4,5)\)
\[
M = \begin{pmatrix}
2 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 4 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 5 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
计算
\[
M^{-1} = \begin{pmatrix}
0.5 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.25 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 0.2 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
\[
(M^{-1})^T = \begin{pmatrix}
0.5 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.25 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 0.2 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
\]
根据公式计算
\[
n_{new} = (M^{-1})^T * n_{old} =
\begin{pmatrix}
0.5 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.25 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 0.2 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
0 \\
0.6 \\
0.8 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0.15 \\
0.16 \\
0
\end{pmatrix}
\overset{归一化}{=}
\begin{pmatrix}
0 \\
0.683941129 \\
0.729537204\\
0
\end{pmatrix}
\]
方法二：向量的齐次坐标乘以变换矩阵¶
回顾
- 在“前言”当中，我们谈到，如果变换矩阵只有平移的话，用向量的齐次坐标乘上矩阵，也能得到正确答案
- 在“仅旋转”当中，我们也发现，如果变换矩阵只有旋转的话，那向量的齐次坐标乘上矩阵也行
那么，这里就引出一个问题，是否变换矩阵只有缩放的时候，用向量齐次坐标乘上矩阵也行？接下来，就讨论“引言”中，“没有这么简单”的原因
案例一：XYZ缩放因子不同¶
示例
- 法向量\(\vec{n_{old}} = (0,0.6,0.8)\)
- 变换矩阵：缩放因子\((2,4,5)\)，XYZ缩放因子不同
用通用公式来计算（即方法一）
\[
n_{new} = (M^{-1})^T * n_{old} =
\begin{pmatrix}
0.5 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.25 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 0.2 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
0 \\
0.6 \\
0.8 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0.15 \\
0.16 \\
0
\end{pmatrix}
\overset{归一化}{=}
\begin{pmatrix}
0 \\
0.683941129 \\
0.729537204\\
0
\end{pmatrix}
\]
用向量齐次坐标乘上矩阵来计算（即方法二）
\[
M * n_{old} =
\begin{pmatrix}
2 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 4 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 5 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
0 \\
0.6 \\
0.8 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
2.4 \\
4 \\
0
\end{pmatrix}
\overset{归一化}{=}
\begin{pmatrix}
0 \\
0.51449575542752651213595466566578 \\
0.85749292571254418689325777610964 \\
0
\end{pmatrix}
\]
这里发现，两个计算结果不同。那哪个是对的呢？
- 当然是“仅缩放”中计算的是对的，因为它用的是“推导过程”得出的公式
- 因此，方法二不适用于XYZ缩放因子不同的场景
案例二：XYZ缩放因子相同¶
示例
- 法向量\(\vec{n_{old}} = (0,0.6,0.8)\)
- 变换矩阵：缩放因子\((2,2,2)\)，XYZ缩放因子相同
用通用公式来计算（即方法一）
\[
n_{new} = (M^{-1})^T * n_{old} =
(\begin{pmatrix}
2 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 2 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 2 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}^{-1})^T
*
\begin{pmatrix}
0 \\
0.6 \\
0.8 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0.5 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 0.5 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 0.5 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0.3 \\
0.4 \\
0
\end{pmatrix}
\overset{归一化}{=}
\begin{pmatrix}
0 \\
0.6 \\
0.8\\
0
\end{pmatrix}
\]
用向量齐次坐标乘上矩阵来计算（即方法二）
\[
M * n_{old} =
\begin{pmatrix}
2 && 0 && 0 && 0 \\
0 && 2 && 0 && 0 \\
0 && 0 && 2 && 0 \\
0 && 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
*
\begin{pmatrix}
0 \\
0.6 \\
0.8 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
1.2 \\
1.6 \\
0
\end{pmatrix}
\overset{归一化}{=}
\begin{pmatrix}
0 \\
0.6 \\
0.8 \\
0
\end{pmatrix}
\]
可以看到，两种方法计算结果一样，而且法向量在变换前后也无变换。这很好理解，因为XYZ缩放因子相同，三角形所在平面其实没有改变，因此法向量也没有改变。
因此，XYZ缩放因子相同时，也可以用方法二。
结论¶
法向量的坐标系变换，与顶点的坐标系变换有所不同
- 方法一：通用公式。其中，\(\vec{n_{new}}=(nx_{new}, ny_{new}, nz_{new})\)，\(nw_{new}\)可忽略
\[
\begin{pmatrix}
nx_{new} \\
ny_{new} \\
nz_{new} \\
nw_{new}
\end{pmatrix}
=
(M^{-1})^{T}
*
\begin{pmatrix}
nx_{old} \\
ny_{old} \\
nz_{old} \\
0
\end{pmatrix}
\]
- 方法二：齐次坐标乘上变换矩阵
\[
\begin{pmatrix}
nx_{new} \\
ny_{new} \\
nz_{new} \\
nw_{new}
\end{pmatrix}
=
M
*
\begin{pmatrix}
nx_{old} \\
ny_{old} \\
nz_{old} \\
0
\end{pmatrix}
\]
两种情况下的法向量都要做归一化
| 方法一：通用公式 | 方法二：齐次坐标直接乘以变换矩阵 | |
|---|---|---|
| 仅平移 | √ | √ |
| 仅旋转 | √ | √ |
| 仅缩放（XYZ缩放因子相同） | √ | √ |
| 仅缩放（XYZ缩放因子不同） | √ | × |