齐次坐标

引言：两个平行线可以相交？¶

在欧几里得空间中，同一平面上的两条平行线永不相交。然而，在射影空间（projective space）中并不是这样。如下图所示，两条平行的铁轨在地平线上相遇，交点是一个无穷远的点。

欧几里得空间（或者笛卡尔空间）能够很好地描述2D/3D几何，但它不足以处理射影空间。事实上，欧几里得几何（Euclidean geometry）是射影几何（projective geometry）的子集。

二维点的笛卡尔坐标可以表示为\((x,y)\)
如果是无穷大的点，笛卡尔坐标用\((\infty, \infty)\)表示。但它在欧几里得空间中变得毫无意义，因为我们无法用\((\infty, \infty)\)做数学计算

因此，平行线在射影空间中应该在无穷远处相交，但在欧几里得空间中不能相交。August Ferdinand Möbius引入齐次坐标解决这个问题。

齐次坐标是用\(N+1\)个数字表示N维坐标的一种方法。例如，二维笛卡尔坐标为\((x,y)\)，而二维齐次坐标即是\((x,y,w)\)

例如

笛卡尔坐标\((1,2)\)，在齐次坐标中是\((1,2,1)\)
如果点\((1,2)\)移动到无穷远，那么移动之后的齐次坐标是\((1,2,0)\)。这是因为\((1/0, 2/0)≈(\infty, \infty)\)

齐次坐标¶

齐次坐标（Homogeneous coordinates）是用\(N+1\)个数字表示\(N\)维坐标的一种方法。

例如，二维齐次坐标与二维笛卡尔坐标

两者转换只需除以\(w\)（\(w=1\)时，即是笛卡尔坐标）

用齐次坐标，如何表示点和矢量。以二维齐次坐标为例

\(Point_{2d} = (x,y,w), w≠0\)
\(Vector_{2d} = (x,y,0),即w＝0\)

齐次坐标的运算

\(vector + vector = vector\)
\(point - point = vector\)
\(point +vector = point\)
\(point + point = 两个点的中点\)

扩展¶

为什么叫“齐次“¶

将二维齐次坐标转成二维笛卡尔坐标，我们可以发现一个重要事实

不难发现，以上例子的二维齐次坐标都等同于\((1/3, 2/3)\)的笛卡尔坐标。
因此，这些点是“齐次的”，因为它们在欧几里得空间（笛卡尔空间）中表示的是同一个点。换句话说，齐次坐标是尺度不变的（scale invariant）。

为什么向量w分量为0¶

向量体现的是方向性，即具有平移不变性的特征。即，若向量的齐次坐标在参与平移矩阵变换之后，所得的结果不变。

举个例子，三维向量(1,0,0)、三维点(0,0,0)，做一个(0,2,0)的平移变换

按照我们的直观感受

\((0,0,0) + (0,2,0)\)，因此顶点坐标就变成\((0,2,0)\)
而法向量，\((1,0,0)+(0,2,0)\)，变成\((1,2,0)\)。这当然是错的，平移之后，向量应该还是为\((1,0,0)\)，因为向量没有位置，只有方向

那为什么会错呢？本质上，还是将向量齐次坐标中的w当成了1，因此结果错了

\[ n_{new} = M * n_{old} = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 2 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

实际上，向量齐次坐标中的w其实是0，如下所示，计算结果还是\((1,0,0,0)\)

\[ n_{new} = M * n_{old} = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 2 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]