反射率方程

【背景知识】在此之前，需要了解[辐射度量学]的相关概念。

渲染方程¶

渲染方程是某些聪明绝顶的人所构想出来的一个精妙的方程式，是如今我们所拥有的用来模拟光的视觉效果最好的模型：

反射率方程¶

而反射率方程是一种特化的渲染方程

反射率公式计算了，点\(p\)在\(\omega_0\)方向上，被反射出来的辐射率\(L_o(p, \omega_0)\)的总和
换而言之，\(L_0\)表示了从\(\omega_0\)方向上观察，光线投射到点\(p\)上反射出来的辐照度

\[ L_o(p,\omega_o) = \int\limits_{\Omega} f_r(p,\omega_i,\omega_o) L_i(p,\omega_i) n \cdot \omega_i d\omega_i \]

入射方向向量¶

【\(\omega_i\)】立方角，可以视作是入射方向向量\(\omega_i\)

出射方向向量¶

【\(\omega_o\)】表示观察方向，也急速光线的出射方向

辐射率¶

【\(L\)】即辐射率，具体而言，是代表通过某个无限小的立方体\(\omega_i\)、在某个点\(p\)上的辐射率

能量¶

【\(n \cdot \omega_i\)】

记光线与平面间的入射角为\(\theta\)
我们利用\(\cos \theta\)来计算能量，而\(\cos \theta = 平面法向量 * 光线方向\)，即\(\cos \theta = n \cdot \omega_i\)

半球领域内的辐照度¶

【\(\int\) 与 \(d\omega_i\)】

当目前为止，我们计算的只是一个方向（\(\omega_i\)）上的入射光。但这远远不够，我们应该计算以点\(p\)为球心，半球领域\(\Omega\)内所有方向上的入射光。而\(\int\) 与 \(d\omega_i\)即是为了求半球领域内的辐照度。

如何计算？

如何计算某些面积的值，或者说，如何计算像半球领域中某一个体积的值？我们将用到“积分(Integral)”，也就是公式中的\(\int\)
\(\int ... d\omega_i\) 包含了半球领域\(\Omega\)内所有入射方向上的\(d\omega_i\)

积分如何计算？

积分运算的值等于一个函数曲线的面积，它的计算结果要么是解析解，要么是数值解
由于渲染方程的反射率方程都没有解析解，我们将会用离散的方法来 求这个积分的数值解

因此，这个问题就转换为

在半球领域\(\Omega\)中，按一定步长将反射率方程分别求解
然后再按照步长大小，将所得到的的结果平均化
这种方法被称之为“黎曼和(Riemann sum)”

如下，给出一个粗糙的代码帮助理解

dW即黎曼和中的离散步长，而用此方法得到的函数总面积也是一个近似值。我们可以通过增加离散部分的数量来提高黎曼和的准确度
通过利用dW的值，来对所有离散部分进行缩放，其和最后就等于积分函数的总面积或者总体积
这个用来对每个离散步长进行缩放的dW，就可以认为是反射率方程中的\(d\omega_i\)
在数学上，用来计算积分的\(d \omega_i\)表示的是一个连续的符号，而我们使用的dW在代码中和它并没有直接的联系

int steps = 100;
float sum = 0.0f; 
vec3 P = ...; 
vec3 Wo = ...; 
vec3 N = ...; 
float dW = 1.0f / steps; 

for(int i = 0; i < steps; ++i) 
{ 
    vec3 Wi = getNextIncomingLightDir(i); 
    sum += Fr(p, Wi, Wo) * L(p, Wi) * dot(N, Wi) * dW; 
}

BRDF¶

【\(f_r\)】至此，剩下的就是\(f_r\)了。它被称为BRDF，作用是基于表面材质属性来对入射辐射率进行缩放或加权。

具体参考BRDF文档。

总结¶

反射率方程概括了

半球领域\(\Omega\)内
碰撞到了点\(p\)上的所有入射方向\(\omega_i\)上的光线的辐射率
并受到了\(f_r\)的约束
然后返回观察方向上反射光的\(L_0\)

入射光辐射率从哪里获得？

入射光辐射率可由光源处获得（参考光照）
此外，还可以，利用一个环境贴图来测算所有入射方向上的辐射率（参考漫反射辐照度）

Cook-Torrance反射率方程¶

如果，BRDF使用Cook-Torrance模型，那么此反射率方程即可叫做“Cook-Torrance反射率方程”。

公式如下：

\[ L_o(p,\omega_o) = \int\limits_{\Omega} (k_d\frac{c}{\pi} + k_s\frac{DFG}{4(\omega_o \cdot n)(\omega_i \cdot n)})L_i(p,\omega_i) n \cdot \omega_i d\omega_i \]

此方程描述了一个基于物理的渲染模型，它其实就是我们常用的PBR了。